Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Zusammenfassung von Objekten beschäftigt. Für viele Berechnungen und Formeln in der Stochastik ist ein Grundverständnis von Mengen und Mengenoperationen vorausgesetzt. Das wichtigste wird hier kurz erklärt.

Was ist eine Menge?

Im Prinzip ist eine Menge nur eine Zusammenfassung von Objekten oder Zahlen. Bei einem Kartenspiel ließen sich die Karten beispielsweise nach Symbolen gruppieren: “Kreuz”, “Pik”, “Herz” und “Karo”. Jede dieser Gruppen beziehungsweise Mengen beinhaltet dann einen König, eine Dame und so weiter. Das lässt sich genau so auf Zahlen übertragen. Man kann zum Beispiel eine Menge $A$ mit beliebigen Zahlen definien:

$A = \{0, 1, 2, \pi\}$

Tatsächlich hast du im Unterricht schon mit Mengen gearbeitet! Die meistgenutzten Mengen sind die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ , die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ , die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und die reelen Zahlen $\mathbb{R}$ .

Mengenoperationen/-arten

Es gibt verschiedene Arten von Mengen beziehungsweise verschiedene Operationen die man an Mengen durchführen kann. Für die folgenden Erklärungen werden diese vier Mengen genutzt:

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$B = \{2, 3, 4, 5\}$
$C = \{8, 9\}$
$D = \{4, 9, 65, 102\}$

Teilmenge und Obermenge

Die Teilmenge ist im Prinzip eine Menge, die teil einer anderen Menge ist. Das bedeutet, dass jedes Element in der beliebigen Menge $B$ gleichzeitig Teil der beliebigen Menge $A$ ist. Mathematisch ausgedrückt:

$B \subset A$

Daraus folgt, dass $A$ eine Obermenge von $B$ ist. Mathematisch schreibt man:

$A \supset B$

Wird das Ganze negiert, sieht es so aus: $C \not\subset B$ . Man spricht: “C ist keine Teilmenge von B”. Selbiges gilt dann für die Obermenge: $B \not\supset C$

Schnittmenge

Die Schnittmenge von zwei beliebigen Mengen besteht aus allen Elementen, die sowohl in Menge $A$ als auch in der Menge $B$ vorhanden sind. Geschrieben wird das Ganze so:

$A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}$

Gesprochen: “Die Schnittmenge von $A$ und $B$ besteht aus jedem Element $x$ für das gilt: $x$ ist in der Menge $A$ enthalten und $x$ ist in der Menge $B$ enthalten”.

Ausgerechnet ist das dann folgendes:

\begin{align*} A \cap D &= \{ 4, 9 \} \\ \\ A \cap B &= \{ 2, 3, 4, 5 \} \\ &= B \text{, da } B \subset A \end{align*}

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge von zwei beliebigen Mengen besteht aus allen Elementen, die entweder in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen $A$ und $B$ enthalten sind. Mathematisch ausgedrückt wird das Ganze so:

$B \cup D = \{ x | x \in B \lor x \in D \}$

Hier sind zwei Beispielrechnungen:

\begin{align*} B \cup D &= \{ 2, 3, 4, 5, 65, 102 \} \\ \\ A \cup B &= \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \\ &= A \text{, da } A \supset B \end{align*}

Differenzmenge

Die Differenzmenge besteht aus allen Elementen, die zwar in der beliebigen Menge $A$ sind, aber nicht in der beliebigen Menge $B$ . Mathematisch wird das so geschrieben:

$A \setminus B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \}$

Berechnet dann so:

\begin{align*} A \setminus B &= \{ 0, 1, 6, 7, 8, 9, 10 \} \\ \\ B \setminus D &= \{ 2, 3, 5 \} \\ \\ B \setminus A &= \{\} \\ &= \emptyset \end{align*}