Baumdiagramm

Zufallsexperimente kann man für ein besseres Verständnis in übersichtliche Darstellungsformen bringen. Dafür eignen sich Baumdiagramme besonders gut.

Das Baumdiagramm

Eine Beispielaufgabe: “In einer Urne befinden sich $3$ schwarze und $1$ rote Kugel. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen.”

Diese Aufgabe lässt sich ganz einfach durch ein Baumdiagramm darstellen:

flowchart LR
    Root((•)) -->|0.75| S(Schwarz)
    S -->|0.66| S2(Schwarz)
    S -->|0.33| R2(Rot)
    Root -->|0.25| R(Rot)
    R -->|1.0| S3(Schwarz)

Will man jetzt die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis ”$A$: Zwei mal schwarz” berechnen, multipliziert man einfach die Wahrscheinlichkeiten des Pfades mit zwei schwarzen Kugeln: $P(A) = 0.75 \times 0.66 = 0.495$

Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem Baumdiagramm gibt es verschiedene Pfadregeln, welche bachtet werden müssen.

Produktregel

Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchsausgangs zu bestimmen, müssen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Zweige im Baumdiagramm multipliziert werden. Beim Beispiel oben haben wir das bereits gemacht!

Die Produktregel muss immer angewendert werden, wenn zwei Ereignisse mit einem “und” verknüpft sind: “Schwarz und nochmal Schwarz”.

Summenregel

Um die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ergebnisse zu berechnen, addiert man die Wahrscheinlichkeit der entsprechenden Pfade im Baumdiagramm. Beim obigen Besipiel wäre diese Regel Notwendig wenn wir die Wahrscheinlichkeit für “B: entweder Schwarz und Schwarz oder einmal Schwarz und dann einmal Rot” berechnen wollten: $P(B) = 0.75 * 0.66 + 0.75 * 0.33 = 0.7425$