Vierfeldertafel

Um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen übersichtlich darzustellen bietet sich die Vierfeldertafel an.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ sieht eine Vierfeldertafel so aus:

	$A$	$\bar A$
$B$	$P(A\cap B)$	$P(\bar A \cap B)$	$P(B)$
$\bar B$	$P(A\cap \bar B)$	$P(\bar A \cap \bar B)$	$P(\bar B)$
	$P(A)$	$P(\bar B)$	1

Es gibt $3$ einfache Rechenregeln für die Vierfeldertafel:

1. Um die Wahrscheinlichkeiten für die Rechte Spalte zu bekommen, addiert man die Wahrscheinlichkeiten der linken Spalten zusammen. z.B.:

   $P(B) = P(A\cap B) + P(\bar A \cap B)$

2. Um die Wahrscheinlichkeiten für die letzte Zeile zu bekommen, addiert man die Wahrscheinlichkeiten der oberen Zeilen zusammen. z.B.:

   $P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap \bar B)$

3. Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit dessen Gegenereignisses ist immer $1$

Man kann eine Vierfeldertafel entweder mit absoluten oder mit relativen Häufigkeiten ausfüllen. Wichtig ist, dass die gewählte Form für die ganze Tafel beibehalten wird.

Beispiel

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind gegeben:

• $P(A) = 0.45$
• $P(A\cap \bar B) = 0.2$
• $P(\bar B) = 0.7$

Damit lässt sich die Vierfeldertafel schonmal so ausfüllen:

	$A$	$\bar A$
$B$
$\bar B$	0.2		0.7
	0.45		1

In diesem Fall lassen sich die Wahrscheinlichkeit für $P(\bar A)$ und $P(B)$ am einfachsten bestimmen:

• $P(\bar A) = 1 - 0.45 = 0.55$
• $P(B) = 1 - 0.7 = 0.3$

In der Tafel eingesetzt:

	$A$	$\bar A$
$B$			0.3
$\bar B$	0.2		0.7
	0.45	0.55	1

Als nächstes die Wahrscheinlichkeiten für $P(A \cap B)$ und $P(\bar A \cap \bar B)$:

• $P(A \cap B) = 0.45 - 0.2 = 0.25$
• $P(\bar A \cap \bar B) = 0.7 - 0.2 = 0.5$

Wieder in die Tafel einsetzen:

	$A$	$\bar A$
$B$	0.25		0.3
$\bar B$	0.2	0.5	0.7
	0.45	0.55	1

Jetzt bleibt nur noch $P(\bar A \cap B)$ übrig: $0.3 - 0.25 = 0.05$. Unsere fertige Vierfeldertafel sieht nun so aus:

	$A$	$\bar A$
$B$	0.25	0.05	0.3
$\bar B$	0.2	0.5	0.7
	0.45	0.55	1

Absolute Häufigkeit

Bei der absoluten Häufigkeit wird mit Angaben in Einheiten wie Personen oder Produkten gerechnet.

Eine Beispielaufgabe: Am Sportunterricht nehmen insgesamt 25 Kinder teil, von denen 13 weiblich sind. Genau 17 Kinder sind gut im Hochsprung. 10 Mädchen sind gut im Hochsprung.

Als erstes müssen wir Ereignisse definieren:

• $M$: Mädchen
• $\bar M$: kein Mädchen
• $H$: gut im Hochsprung
• $\bar H$: nicht gut im Hochsprung

Dann schreiben wir uns die Wertangaben auf, die wir gegeben haben. Wichtig ist, dass wir die Mächtigkeit der Ereignisse angeben, und nicht die Wahrscheinlichkeiten:

• $|S| = 25$ — insgesamt sind 25 Kinder im Sportunterricht
• $|M| = 13$ — es gibt 13 Mädchen im Sportunterricht
• $|H| = 17$ — 17 Kinder sind gut im Hochsprung
• $|M \cap H| = 10$ — 10 Mädchen sind gut im Weitwurf

Diese Angaben tragen wir in die Vierfeldertafel ein:

	$M$	$\bar M$
$H$	10		17
$\bar H$
	13		25

Wie bei der vorherigen Beispielaufgabe rechnen wir jetzt die fehlenden Felder aus:

• $|\bar H| = 25 - 17 = 8$
• $|\bar M| = 25 - 13 = 12$
• $|M \cap \bar H| = 13 - 10 = 3$
• $|\bar M \cap H| = 17 - 10 = 7$
• $|\bar M \cap \bar H| = 8 - 3 = 5$

Die ausgefüllte Vierfeldertafel sieht dann so aus:

	$M$	$\bar M$
$H$	10	7	17
$\bar H$	3	5	8
	13	12	25

Relative Häufigkeit

Bei der absoluten Häufigkeit wird ebenfalls mit Angaben in Einheiten wie Personen oder Produkten gerechnet. Dieses mal aber nicht in absoluten angaben, sondern in relativen.

Selbe Beispielaufgabe: Am Sportunterricht nehmen insgesamt 25 Kinder teil, von denen 13 weiblich sind. Genau 17 Kinder sind gut im Hochsprung. 10 Mädchen sind gut im Hochsprung.

Die Ereignisse bleiben ebenfalls gleich.

Dann schreiben wir uns die Wertangaben auf, die wir gegeben haben. Wichtig ist, dass wir die Mächtigkeit der Ereignisse angeben, und nicht die Wahrscheinlichkeiten:

• $|S| = 25$ — insgesamt sind 25 Kinder im Sportunterricht
• $|M| = 13$ — es gibt 13 Mädchen im Sportunterricht
• $|H| = 17$ — 17 Kinder sind gut im Hochsprung
• $|M \cap H| = 10$ — 10 Mädchen sind gut im Weitwurf

Diese Angaben tragen wir in die Vierfeldertafel ein:

	$M$	$\bar M$
$H$	$\frac{10}{25}$		$\frac{17}{25}$
$\bar H$
	$\frac{13}{25}$		$\frac{25}{25}$

Die entsprechenden Rechnungen:

• $|\bar H| = \frac{25}{25} - \frac{17}{25} = \frac{8}{25}$
• $|\bar M| = \frac{25}{25} - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$
• $|M \cap \bar H| = \frac{13}{25} - \frac{10}{25} = \frac{3}{25}$
• $|\bar M \cap H| = \frac{17}{25} - \frac{10}{25} = \frac{7}{25}$
• $|\bar M \cap \bar H| = \frac{8}{25} - \frac{3}{25} = \frac{5}{25}$

Die ausgefüllte Vierfeldertafel sieht dann so aus:

	$M$	$\bar M$
$H$	$\frac{10}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{17}{25}$
$\bar H$	$\frac{3}{25}$	$\frac{5}{25}$	$\frac{8}{25}$
	$\frac{13}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{25}{25}$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Folgende Formel gilt für relative Häufigkeiten:

$$P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Beide Werte, die für das Berechnen nötig sind, lassen sich in der Vierfeldertafel ablesen.

Für das Beispiel oben, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für $M$ unter der Bedingung das $H$ bereits eingetroffen ist wie folgt ausrechnen:

$$\begin{align*} P_H(M) &= \frac{P(H \cap M)}{P(H)} \\ &= \frac{10}{25} \div \frac{17}{25} \\ &\approx 0.5882 \end{align*}$$

Anders herum, lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit für $H$ unter der Bedingung das $M$ bereits eingetroffen ist berechnen:

$$\begin{align*} P_H(M) &= \frac{P(M \cap H)}{P(M)} \\ &= \frac{10}{25} \div \frac{13}{25} \\ &\approx 0.52 \end{align*}$$