Stochastische Abhängigkeit

Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bedeutet, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Eintrittswahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Man sagt: $A$ ist stochastisch unabhängig von $B$, wenn $P(A)$ unabhängig davon ist, ob $B$ eintritt oder nicht.

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gelten bei stochastischer Unabhängigkeit:

• $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• $P_B(A) = P(A)$
• $P_A(B) = P(B)$

Beispielrechnung

Aufgabe: Ein herkömmlicher Würfel wird einmal geworfen. Ereignis A sei “ungerade Augenzahl”, Ereignis B sei “Augenzahl kleiner als 5”. Bestimme, ob A und B unabhängig oder abhängig sind.

Die Ereignisse lassen sich so darstellen:

• $A = \{ 1, 3, 5 \}$
• $B = \{ 1, 2, 3, 4 \}$

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse:

• $P(A) = \frac{1}{2}$
• $P(A) = \frac{2}{3}$

Die Schnittmenge der beiden Ereignisse besteht aus den Zahlen $1$ und $3$. Das heißt: $A\cap B = \{ 1, 3 \}$.

Die Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B) = \frac{1}{3}$.

Jetzt kann man anhand der Formel $P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$ die stochastische Unabhängigkeit von $A$ und $B$ prüfen:

$$\begin{align*} P(A) \times P(B) &= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \\ &=\frac{1}{3}=P(A\cap B) \end{align*}$$

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind also stochastisch unabhängig voneinander.