Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit gibt bei einem Zufallsexperiment an, wie sehr etwas zutrifft oder nicht. Man gibt die Wahrscheinlichkeit entweder in Prozent oder als Zahl zwischen $0$ und $1$ an.

Dabei wird der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit eintrifft, die $1$ beziehungsweise $100\%$ zugeordnet und der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit nicht eintrifft die $0$ beziehungsweise $0\%$ zugeordnet.

Die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse ist immer $1$ oder $100\%$.

Mathematischer Ausdruck

In der Mathematik wird die Wahrscheinlichkeit von einem beliebigen Ereignis $X$ als $P(X)$ angegeben. $P(X)$ nimmt Werte im Bereich $[0, 1]$ an.

Ist $P(X) = 0$, spricht man von einem unmöglichen Ereignis. Bei $P(X) = 1$ spricht man von einem sicheren Ereignis.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Die allgemeine Formel für die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit ist folgende:

$$P(E) = \frac{E}{|S|}$$

• $E$ gibt unsere günstigen Ergebnisse an, also wie viele verschiedene Ergebnisse aus unserer Ergebnismenge wir für unsere Berechnung miteinbeziehen wollen.
• $|S|$ ist die Mächtigkeit unserer Ergebnismenge, also die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse die in unserer Ergebnismenge enthalten sind.
• $P(E)$ ist die berechnete Wahrscheinlichkeit für unsere günstigen Ergebnisse.

Das sieht kompliziert aus, ist es aber nicht! An einem Beispiel wird es deutlicher.

Einfaches Beispiel: Laplace-Experiment

Wir haben ein Glücksrad mit $5$ gleich großen Flächen, auf denen die Zahlen von $1$ bis $5$ stehen. Die Ergebnismenge $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$, gibt passend unsere möglichen Ergebnisse an.

Will man nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ”$G$: Gerade Zahl” berechnen, das Angibt, dass eine gerade Zahl gedreht wird, macht man folgendes:

1. $E$ bestimmen: Aus unserer Ergebnismenge sind genau $2$ Zahlen gerade: $2$ und $4$. Daraus ergibt sich: $E = 2$.
2. $|S|$ bestimmen: Wir haben $5$ verschiedene Ergebnisse in unserer Ergebnismenge. Daher ist $|S| = 5$.
3. $P(G)$ ausrechnen: $P(G) = \frac{E}{|S|} = \frac{2}{5}$

Selbiges für $\bar{G}$: Ungerade Zahl.

1. $E$ bestimmen: $3$ Zahlen sind ungerade. $E = 3$.
2. $|S|$ bestimmen: Wir haben $5$ verschiedene Ergebnisse in unserer Ergebnismenge. Daher ist $|S| = 5$.
3. $P(G)$ ausrechnen: $P(G) = \frac{E}{|S|} = \frac{3}{5}$

Da $\bar{G}$ das Gegenereignis von $G$ ist, hätte man es auch einfacher berechnen können:

$$\begin{align*} P(\bar{G}) &= 1 - P(G) \\ &= 1 - \frac{2}{5} \\ &= \frac{3}{5} \end{align*}$$

Für die berechnung von komplexeren Wahrscheinlichkeitsarten siehe Urnenmodell.

Zufallsvariablen

Oft interessiert man sich nicht direkt für die Ergebnisse eines Zufallsexperiments, sonder eher für bestimmte Zahlen, die mit dem Ergebnis zusammenhängen. Diese Zahlen nennt man dann Zufallsvariablen.

Ein Beispiel für eine solche Zufallsvariable wäre der Geldgewinn bei einem Glücksspiel. Hier interessiert man sich weniger für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses, sondern vielmehr für den Verlust/Gewinn von Geld.

Beispiel: Glücksrad

Ein Glücksrad hat $8$ gleich große Felder, wovon $4$ rot sind, $3$ grün sind und $1$ blau ist. Für einen Einsatz von $1.5$€ darf man das Rad einmal drehen. Landet es auf blau, gewinnt man $5$€, bei grün gewinnt man $1$€.

Farbe	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
rot	0€	$P(\text{rot}) = \frac{4}{8}$
grün	1€	$P(\text{grün}) = \frac{3}{8}$
blau	5€	$P(\text{blau}) = \frac{1}{8}$

Anstatt die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe anzugeben, kann man auch die Wahrscheinlichkeit für jeden Gewinn (unsere Zufallsvariable) angeben. Die Tabelle sieht dann so aus:

Farbe	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
rot	0€	$P(x = 0) = \frac{4}{8}$
grün	1€	$P(x = 1) = \frac{3}{8}$
blau	5€	$P(x = 5) = \frac{1}{8}$