Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, dass bei einer festen Anzahl von gleichartigen Versuchen ein bestimmtes Ereignis eine bestimmte Anzahl von Malen eintritt. Typische Beispiele sind Münzwürfe, ob ein Schüler eine Aufgabe richtig löst oder nicht oder das Ziehen mit Zurücklegen.

Voraussetzungen

Die Binomialverteilung gilt nur, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die Anzahl der Versuche $n$ ist bekannt.
• Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ergebnisse: er trifft zu oder nicht.
• Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Erfolg bleibt konstant.

Notation

• $n$: Anzahl der Versuche
• $k$: Anzahl der Erfolge
• $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch
• $q = 1 - p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit

Berechnung

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Erfolge in n Versuchen vorkommen, lautet:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times q^{(n−k)}$$

Erklärung:

• $p^k$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass genau diese $k$ Versuche Erfolge sind
• $q^{(n−k)}$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass die übrigen Versuche Misserfolge sind.
• $\binom{n}{k}$ multipliziert mit dieser einen Reihenfolge berücksichtigt alle möglichen Reihenfolgen, in denen die $k$ Erfolge auftreten können.

Eine einfachere Darstellungsvariante der Formel ist $B(k)$

Beispiel

Angenommen, eine Schülerin hat bei einer Prüfung pro Aufgabe eine Wahrscheinlichkeit von $p = 0.7$, sie richtig zu lösen. Es gibt $n = 5$ Aufgaben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $k = 3$ Aufgaben richtig zu haben?

$$\begin{align*} P(X = 3) &= \binom{5}{3} \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\ &= 10 \times 0.343 \times 0.09 \\ &\approx 0.3087 \end{align*}$$

alternativ dargestellt:

$$B_{5;0.7}(3) = 0.3087$$

Kumulierte Binomialverteilung

Mithilfe der Binomialverteilung kann man bereits einfach die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette ausrechnen und sich somit große Baumdiagramme sparen. Oft muss man dennoch viele einzelne Trefferwahrscheinlichkeit ausrechnen und zusammenzählen. Um das elegant und kompakt darzustellen und zu berechnen, gibt es die kumulierte Binomialverteilung:

$$F_{n;p}(k) = \sum_{i=0}^k B_{n;p}(i)$$

Beispiel

Ein herkömmlicher Würfel wird $50$-mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $10$-mal eine $4$ geworfen wird?

• $V$: Anzahl der gewürfelten Vieren
• $p = \frac{1}{6}$
• $n = 50$

Gesucht ist also $P(X \leq 10)$:

$$P(X \leq 10) = F_{50;\frac{1}{6}}(10) = 0.7986$$

Unser Ergebnis ist $79.86\%$.

Histogramme

Um Binomialverteilungen grafisch darzustellen, werden Histogramme verwendet. Diese sehen so aus:

Buildquelle: Von MM-Stat - Eigenes Werk (Originaltext: selbst erstellt), CC BY-SA 3.0