Das Urnenmodell

Wahrscheinlichkeiten lassen sich auf ganz verschiedene Arten und Weisen Kategorisieren und somit auch unterschiedlich berechnen. Das Urnenmodell veranschaulicht das anhand einer Urne, aus der Kugeln entnommen werden.

Folgendes Flowchart zeigt die verschiedenen Arten von Wahrscheinlichkeiten:

flowchart TD
    Root[Wird eine Stichprobe entnommen?] -->|nein| Permutation(Permutation)
    Root[Wird eine Stichprobe entnommen?] -->|ja| Reihenfolge(Wird die Reihenfolge beachtet?)
    Reihenfolge -->|nein| Kombination(Kombination)
    Reihenfolge -->|ja| Variation(Variation)

Permutation

Bei einer Permutation stellt man sich die Frage “Wie viele Möglichkeiten gibt es, verschiedene Objekte anzuordnen?”. Wenn alle Objekte voneinander unterscheidbar sind, dann lautet die Formel zur Berechnung der Möglichkeiten:

$$n!$$

$n$ steht für die Anzahl an Kugeln in der Urne.

Wenn man die Objekte voneinander unterscheiden kann, ändert sich die Formel ab:

$$\frac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3!}$$

• $n$ steht für die Anzahl an Kugeln in der Urne
• $k_1$ steht für eine Anzahl an Kugeln die gleich sind (Gruppe 1), aber von Kugeln aus den Gruppen $2$ und $3$ zu unterscheiden sind
• $k_2$ steht für eine Anzahl an Kugeln die gleich sind (Gruppe 2), aber von Kugeln aus den Gruppen $1$ und $3$ zu unterscheiden sind
• $k_3$ steht für eine Anzahl an Kugeln die gleich sind (Gruppe 3), aber von Kugeln aus den Gruppen $1$ und $2$ zu unterscheiden sind

Kombination

Bei einer Kombination ist die Reihenfolge, in der Objekte gezogen werden egal. Von Interesse ist nur, welche Objekte man zieht. Bei einer Kombination ohne Zurücklegen ist die Formel:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}$$

Ein klassisches Beispiel für eine Kombination ist das Lotto, zum Beispiel ”$6$ aus $49$”.

Variation

Bei der Variation werden Objekte aus der Urne gezogen, während auf die Reihenfolge geachtet wird. Es wird also unterschieden ob ein Objekt als erstes, zweites, drittes und so weiter gezogen wird.

Als ein Beispiel für eine Variation ohne Zurücklegen wäre ein Zahlenschloss. Bierbei beträgt die Anzahl an Möglichkeiten:

$$n^k$$

$n$ ist die Anzahl an verschiedenen Zahlen, $k$ ist die Anzahl an Ziffern des Zahlenschlosses. Für ein $3$-Stelliges Zahlenschloss, das die Zahlen $0$ bis $9$ hat, ist die Anzahl an möglichkeiten $9^3 = 729$.

Beim Ziehen mit Zurücklegen wird die Anzahl an Möglichkeiten anderst berechnet:

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$