Erwartungswert

Um Zufallsvariablen zu bewerten kann man den Durchschnitt der Zufallsvariable berechnen. Dieser heißt dann Erwartungswert und wird als $\mu$ oder $E(X)$ bezeichnet. $X$ ist hierbei eine beliebige Zufallsvariable.

Die Formel lautet:

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X = x_i)$$

• $E(X)$ ist der Erwartungswert (Durchschnitt) der Zufallsvariable $X$.
• Jedes $x_i$ ist ein möglicher Wert von $X$.
• $P(X = x_i)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $x_i$ annimmt.

Für das im Kapitel Wahrscheinlichkeit genannte Beispiel mit dem Glücksrad lautet die Rechnung wie folgt:

$$\begin{align*} E(X) &= 0 \times \frac{4}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 1 \times \frac{1}{8} \\ &= 1 \end{align*}$$

Der durchschnittliche Gewinn beträgt also $1$€.

Varianz

Die Varianz gibt die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte einer Zufallsvariable vom Erwartungswert an. Sie heißt oft $\text{Var}(X)$ oder $\sigma^2$ und wird für eine Zufallsvariable $X$ mit den Werten $x_i$ und Wahrscheinlichkeiten $p_i = P(X = x_i)$ so berechnet:

$$\sigma = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \times p_i$$

Standardabweichung

Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Quadratwurzel der Varianz und misst die Streuung in der ursprünglichen Einheit—beim Glücksrad-Beispiel von oben wären das Euro:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Gesamt wäre die Formel also wie folgt:

$$\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \times p_i}$$

Interpretation

1. Niedrige Standardabweichung: Wenn die Standardabweichung klein ist, bedeutet das, dass die meisten Datenpunkte wenig Distanz zum Mittelwert haben.
2. Hohe Standardabweichung: Kommt eine hohe Standardabweichung als Ergebnis heraus, bedeutet das, dass die Daten breit um den Mittelwert gestreut sind. Daraus folt, dass die Werte sehr unterschiedlich sein können.
3. Null: Wenn die Standardabweichung $0$ beträgt, bedeutet das, dass alle Datenpunkte den gleichen Wert haben. Sie sind identisch.