Was ist ein Zufallsexperiment?

In der Stochastik ist ein Zufallsexperiment ein Versuch, der unter festgelegten Bedingungen durchgeführt wird. Der Ausgang dieses Versuchs ist dabei nicht vorhersehbar. Als Versuch versteht man einen Vorgang, bei dem mehrere erfassbare Ergebnisse eintreten können. Hier sind ein Paar klassische Beispiele:

• Das werfen einer Münze oder eines Spielwürfels
• Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne
• Das Drehen eines Glücksrades
• Das Ziehen einer Karte aus einem Kartenstapel

Begriffsdefinitionen

Zunächst ist es wichtig, die Fachbegriffe für das Beschreiben eines Zufallsexperiments zu wissen.

Ergebnismenge

Die Ergebnismenge, oder auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments und wird oft als $\Omega$ (Omega) oder $S$ bezeichnet. Beim würfeln eines herkömmlichen, sechsseitigen Spielwürfels wäre die Ergebnismenge also $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ oder $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$. Im weiteren Verlauf des Crashkurses wird die Bezeichnung Ergebnismenge und das Zeichen $S$ verwendet.

Ergebnis

Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments, der bei einer Durchführung des Experiments auftreten kann und ist Element des Ergebnisraums ($e \in S$). Einem Ergebnis kann immer eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.

Ereignis und Gegenereignis

Ein Ereignis kann sich aus beliebig vielen Ergebnissen zusammensetzen. Es wird als Menge dieser Ergebnisse angegeben. Auch einem Ereignis kann immer eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden. Ein Beispiel: Es wird ein herkömmlicher sechsseitiger Spielwürfel geworfen. Die Ergebnismenge ist $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$. Folgende Ereignisse könnten definiert werden:

• $G$: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt
  • $G = \{ 2, 4, 6 \}$
• $U$: Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt
  • $U = \{ 1, 3, 5 \}$
• $A$: Es wird eine $5$ oder eine $6$ gewürfelt
  • $A = \{ 5, 6 \}$
• $B$: Es wird keine $2$ gewürfelt
  • $B = \{ 1, 3, 4, 5, 6 \}$

Wenn ein Ereignis das genaue Gegenteil von einem anderen Ereignis ist, dann spricht man von einem Gegenereignis. Beim Beispiel oben könnte man anstatt die Ereignisse $G$ und $U$ zu definieren auch folgendes schreiben:

• $G$: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt
  • $G = \{ 2, 4, 6 \}$

Wenn man dann ausdrücken möchte, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird, schreibt man einfach $\bar G$ (man spricht “nicht G”), was automatisch das Gegenereignis impliziert. In diesem Fall bedeutet das also, dass keine gerade Zahl und somit eine ungerade Zahl gewürfelt wird.

Wahrscheinlichkeit

Den Begriff der Wahrscheinlichkeit lernst du auf der nächsten Seite kennen!

Arten von Zufallsexperimenten

Man kann Zufallsexperimente anhand der Anzahl der Durchführungen einordnen. Hierbei unterscheidet man zwischen einstufigen und mehrstufigen Experimenten

Einstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperiment, die man nur einmal durchführt, nennt man einstufige Zufallsexperimente. Ein Beispiel heierfür ist das einmalige Würfeln eines Würfels oder das einmalige Drehen eines Glücksrades. Wichtig ist, dass das Experiment nur ein mal durchgeführt wird; bei mehrfacher Durchführung handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Wird ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander ausgeführt, dann ist es ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Am übersichtlichsten kann man das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm darstellen, dazu gibt es aber ein eigenes Kapitel.

Spezialfälle

Das Laplace-Experiment

Bei einem Laplace-Experiment haben alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit einzutreffen. Das einfachste Beispiel ist hier ein herkömmlicher sechsseitiger Spielwürfel. Die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu würfeln ist hierbei die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit eine $6$ zu würfeln.

Es gilt:

$P(E) = 1/n$

wobei $n$ die Zahl aller möglichen Ergebnisse und $E$ das Ereignis ist.

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Das Bernoulli-Experiment

Dass aus einem normalen Zufallsexperiment ein Bernoulli-Experiment wird, müssen folgende Bedingungen zutreffen:

1. Das Experiment hat nur zwei verschiedene Ausgänge, also $S = \{ A, \bar{A} \}$, wobei $A$ ein beliebiges Ergebnis sein kann.

2. Jedes Ergebnis des Experiments muss eine konstante Wahrscheinlichkeit haben, diese darf sich also nicht im Lauf des Experiments verändern (vor allem bei mehrstufigen Zufallsexperimenten zu beachten).

3. Wenn man die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse zusammenrechnet muss dies $1$ ergeben:

   $\sum_{i=0}^{n} p_i = 1$.

   $n$ ist hierbei die Anzahl an Ergebnissen und $p_i$ die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses.

Zum Bernoulli-Experiment lernst du noch weiteres auf der Seite Binomialverteilung.